期权——当你有权说不
YaHan 会做远期的定价了——锁定价格、到期交割。但他想到一个问题：远期是义务。签了就要执行，不管到时候价格对你多不利。
有没有一种合约，让你有权利但没有义务？价格对你有利你就执行，不利你就放弃？换句话说：能不能买一种"可以反悔"的远期？
如果股票只有两种可能——涨到 120 或跌到 80
一只股票今天 $S_0 = 100$。一年后只有两种可能：涨 20% 到 120，或跌 20% 到 80。你持有一张看涨期权 (Call Option)，执行价 $K = 100$，一年后到期。你有权以 100 元买入股票，然后在市场上卖出。
- 涨到 120：以 100 买入、120 卖出 → 赚 20。你会执行。
- 跌到 80：以 100 买入、80 卖出 → 亏 20。你不会执行——放弃，收益为 0。
期权到期 payoff = $\max(S_T - K, 0)$。涨的时候跟涨，跌的时候不跟跌。这个非对称性是它和远期最大的区别。
Spot price (S_0): $100
Up factor (u): 1.2, Down factor (d): 0.8
Strike (K): $100
S_up = $120.00
S_down = $80.00
Call payoff up: $20.00
Call payoff down: $0.00
2021 年 1 月，GameStop 的股价在 Reddit 散户的推动下从 20 美元涨到 483 美元。期权市场跟着炸了——一张执行价 100 的看涨期权，在股价 20 的时候只值几分钱，在股价 400 的时候值 300 多美元。期权的非对称性让正确方向上的收益是无限的，错误方向上的损失是有限的（最多亏掉期权费）。这是它最根本的吸引力。
期权值多少钱？——复制它会告诉你
YaHan 想知道期权今天值多少钱。他不要靠"猜涨跌概率"——概率每个人看法不同。他用复制：能不能用股票 + 借款拼出一个组合，使得它在两种情况下都跟期权一模一样？
需要解两个未知数：持有多少股（$\Delta$），借多少钱（$B$）。
- 涨到 120：$\Delta \times 120 - B \times 1.05 = 20$
- 跌到 80：$\Delta \times 80 - B \times 1.05 = 0$
解出来：$\Delta = 0.5$，$B = 38.10$。组合今天成本：$0.5 \times 100 - 38.10 = 11.90$。
Replication portfolio:
delta (shares to buy): 0.5000
borrow amount: $38.0952
Option price: $11.9048
Verification at maturity:
UP : portfolio = $20.00, option = $20.00
DOWN: portfolio = $0.00, option = $0.00
无论股价怎么走，复制组合的 payoff 都和期权一致。所以期权今天的价格就是 $11.90——不是猜的，是逼出来的。
跟远期定价的套路完全一样——复制、无套利、逼出价格。期权多了一步：你需要解一个方程组。但逻辑不变。
在一个人造的世界里，股票期望收益恰好等于无风险利率
上面的复制逻辑可以换一个写法。定义 $p = (R - d)/(u - d)$——如果世界里的上涨概率恰好是 $p$，股票的期望收益恰好等于无风险利率。在这个人造的世界里，期权的价格就是期望 payoff 的贴现：
$$p = \frac{1.05 - 0.8}{1.2 - 0.8} = 0.625$$
$$C = \frac{0.625 \times 20 + 0.375 \times 0}{1.05} = 11.90$$
$p$ 叫风险中性概率 (Risk-Neutral Probability)。它不是真的概率——你不需要相信它。它只是一个数学构造，恰好让复制的结果可以用"求期望再贴现"来表达。两个算法算出来的价格完全一样，因为它们是同一套复制逻辑的两种写法。
期权的价格跟"你觉得涨的概率是多少"没有关系。跟复制它的成本有关系。金融工程的定价永远跟预期无关，只跟现值有关。
不止一步——把一年拆成 500 步
现实里股价不会只有两种结果。多步二叉树把一年拆成很多小步，每一步都是一个小型的一步树。每步参数按 CRR 模型 校准：步长 $\Delta t = T/\text{steps}$，上涨因子 $u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$，下跌因子 $d = 1/u$。
步数增加，期权价格收敛。$\sigma = 20%$、$r = 5%$、$S_0 = 100$、$K = 100$、$T = 1$ 年：
Steps Binomial Call BS Call Diff
------ -------------- ------------ ----------
1 $ 12.162285 $ 10.450576 +1.711709
5 $ 10.805934 $ 10.450576 +0.355358
50 $ 10.410692 $ 10.450576 -0.039884
500 $ 10.446585 $ 10.450576 -0.003990
步数从 1 到 500，价格从 12.16 收敛到 10.45。500 步树已经非常接近 Black-Scholes 的连续极限值（下一章会算）。
对于期权，你需要记住三件事：
- 本质是一张"可以反悔的合同"。涨了你就执行（赚钱），跌了你就放弃（最多亏期权费）。非对称性是它和远期最根本的区别。
- 定价靠复制，不靠猜概率。持有 Δ 股股票 + 借 B 块钱 = 期权。风险中性概率只是这个复制逻辑的另一个写法。
- 期权可以复制，但不能"一次复制就永远不管"。股价一变，Δ 就变。你需要动态调整——这是下一章的核心。
Put-Call Parity——同一个标的的 call 和 put 有必然关系
看跌期权 (Put Option) 的 payoff 是 $\max(K - S_T, 0)$——和 call 镜像对称。YaHan 发现了一个不需要重新算的方法：
买一张 call + 存入 $K$ 的现值。到期时，如果 $S_T > K$，call 值 $S_T - K$，加上存的 $K$，手里有 $S_T$。如果 $S_T < K$，call 值 0，加上存的 $K$，手里有 $K$。组合到期值 = $\max(S_T, K)$。
买一张 put + 持有一股股票。到期时如果 $S_T < K$，put 值 $K - S_T$，加上股票值 $S_T$，手里有 $K$。如果 $S_T > K$，put 值 0，加上股票值 $S_T$。组合到期值 = $\max(K, S_T)$。
两边到期 payoff 相同——所以今天的价值也必须相同：
$$C + PV(K) = P + S_0$$
Call price: $11.9048
PV of strike: $95.2381
Put-Call Parity: P = C + PV(K) - S0 = $7.1429
Direct binomial put: $7.1429
Match: YES
不用任何新公式。Put-Call Parity 只是复制逻辑的另一个应用：两个组合到期 payoff 相同 → 今天价格必须相同。
最早发现期权定价秘密的人没有发论文——他开了对冲基金
1960 年代，MIT 数学教授爱德华·索普发现市场上的认股权证定价有误。他自己推导了一个期权定价公式——比 Black 和 Scholes 发表论文早了近十年。
他没有发论文。他成立了对冲基金 Princeton-Newport Partners，用自己的公式交易期权：买入低估的、卖出高估的、用股票动态对冲。1969 年到 1988 年，年化回报 19.1%，没有一年亏损。
索普的公式和 Black-Scholes 在数学上等价。区别在于：Black 和 Scholes 选择了发表，拿了诺贝尔奖。索普选择了闷声赚钱。赚钱的方法不是"猜对方向"——是用复制逻辑找到定价错误，建仓，然后每天对。
有效市场的意思是：所有人按正确的概率做，大家平局。不按概率做的人，长期必亏。索普按正确的概率做了二十年，市场给了他平局以上。
无风险资产只能赚无风险收益。期权能给你不对称的回报——涨了赚、跌了不亏——不是因为它有魔力，是因为你付了期权费。那张 call 花了你 $11.90，这 $11.90 就是你的风险成本。想赚超额收益，必须承担超额风险。没有例外。
股价涨了，期权涨多少？时间过了一天，期权跌多少？
用 100 步 CRR 树算出来的基准值（$S_0=100$、$K=100$、$\sigma=20%$、$r=5%$、$T=1$）。只动一个参数，看变化：
S0 -> 110 Call: $17.68 (+7.24) Put: $2.80 (-2.76)
S0 -> 90 Call: $5.10 (-5.33) Put: $10.23 (+4.67)
sigma -> 30% Call: $14.20 (+3.77) Put: $9.32 (+3.77)
sigma -> 10% Call: $6.79 (-3.64) Put: $1.92 (-3.64)
r -> 8% Call: $12.09 (+1.65) Put: $4.40 (-1.16)
T -> 0.5yr Call: $6.87 (-3.56) Put: $4.41 (-1.15)
- 股价涨 → call 涨、put 跌。涨跌幅度由 Delta 决定。平值期权的 call delta ≈ 0.5，put delta ≈ -0.4。
- 波动率涨 → call 和 put 同时涨。而且涨的幅度完全一样（+3.77）。这是 Put-Call Parity 的推论。
- 时间减少 → 两种期权同时贬值。时间越少，"发生意外"的空间越小。
定价告诉你它值多少钱。Greeks 告诉你它明天可能值多少钱。会定价的人能入场，会看 Greeks 的人能活下去。
期权和远期最大的差别不在公式，在心态。远期是"我确定要做这件事，先锁定价格"。期权是"我不确定要不要做，先买个权利"。两种心态对应两种人生。
你知道一个东西的定价逻辑之后，市场上就有一半的信息对你是透明的。剩下的那一半——流动性的突然消失、所有人同时按同一个按钮——是模型测不到的。那是经验，不是理论。
小试牛刀
一只股票现价 $S_0 = 50$，执行价 $K = 55$，波动率 $\sigma = 30%$，无风险利率 $r = 4%$，期限 $T = 0.5$ 年。
- 用 100 步 CRR 二叉树计算这张看涨期权值多少钱。看跌期权呢？
- 用 Put-Call Parity 验证你的看跌期权价格。
- 如果波动率从 30% 涨到 40%，call 和 put 分别涨多少？为什么涨的幅度一样？
- 分别计算 $S_0 = 50$ 和 $S_0 = 51$ 时的 call 价格——两者之差就是 Delta 的近似值。这个近似值和一步二叉树的 Delta 公式算出来的一样吗？
本章回顾
| 工具 | 本质 | 定价逻辑 |
|---|---|---|
| 看涨期权 (Call) | 有权以 K 买入——涨了执行、跌了放弃 | $\max(S_T-K,0)$，复制 = Δ 股 + 借钱 |
| 看跌期权 (Put) | 有权以 K 卖出——跌了执行、涨了放弃 | 通过 Put-Call Parity 从 call 推出 |
| 一步二叉树 | 世界只有两种可能——最简定价模型 | 解 2×2 方程组，求 Δ 和借款额 |
| 风险中性概率 | 人造概率，让定价和真实概率无关 | $p = (R-d)/(u-d)$ |
| 多步 CRR 树 | 步数越多越准——逼近连续极限 | 每步校准 $u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, d=1/u$ |
核心原则：期权定价不靠猜概率——靠复制。两个组合未来 payoff 相同，今天的成本就必须相同。这个原则从远期贯穿到期权，一步都没变。变的是复制不能一次搞定——股价动，Δ 跟着动，仓位需要动态调整。那是下一章的事。